なんだかモヤモヤするので、微分方程式の勉強でもやっておくよ

とりあえず一番簡単な、2階線形同次形の微分方程式を解いてみる。
ってことで、 $y=f(x)$ として、
　 $y''-7y'+12y=0$
という微分方程式を解くとする。
この場合は特性方程式
　 $t^2-7t+12=0$
を解いて $t=3,4$ を得たら、この微分方程式の解は
　 $y=c_1e^{3x}+c_2e^{4x}$
で終了。 $c_1$ と $c_2$ は任意定数。
計算だけなら簡単ですね。まあ工学用途なら計算できればおっけ〜。

とりあえず、ほんとに微分方程式を満たしてるか検算。
$c_1=1, c_2=0$ と置いて $y=e^{3x}$ として計算してみると
　 $e^{3x}\frac{d^2}{dx^2}-7e^{3x}\frac{d}{dx}+12e^{3x}$
　　 $=9e^{3x}-21e^{3x}+12e^{3x}$
　　 $=0$
ってことで、成り立ちますね。

まじめに検算すると
　 $\frac{dy}{dx}=3c_1e^{3x}+4c_2e^{4x}, \frac{d^2y}{dx^2}=9c_1e^{3x}+16c_2e^{4x}$
となるので、
　 $\frac{d^2y}{dx^2}-7\frac{dy}{dx}+12y$
　　 $=9c_1e^{3x}+16c_2e^{4x}-7(3c_1e^{3x}+4c_2e^{4x})+12(c_1e^{3x}+c_2e^{4x})$
　　 $=9c_1e^{3x}-21c_1e^{3x}+12c_1e^{3x}+16c_2e^{4x}-28c_2e^{4x}+12c_2e^{4x}$
　　 $=0$
ってことで、ちゃんと成り立ちますね。
あぁ、これが大学の時にできてればちゃんと卒業できたのに。