ついでに、2階微分の差分式

上のふたつのテイラー展開を足すと
$f(x_0-d)+f(x_0+d)=2f(x_0)+d^2f''(x_0)+2\frac{d^4}{4!}f''''(x_0)+\cdots$
となります。
※f'''が消えたのでいままで省略されてたf''''をちゃんと書きました。
これを変形すると
$f''(x_0)=\frac{f(x_0-d)-2f(x_0)+f(x_0+d)}{d^2}-(\frac{d^2}{12}f''''(x_0)+\cdots)$
となります。
$O(d^2)=\frac{d^2}{12}f''''(x_0)+\cdots$
を誤差として切り捨てると、2階微分の差分式
$f''(x_0)\approx\frac{f(x_0-d)-2f(x_0)+f(x_0+d)}{d^2}$
が出てきます。

追記：
これを使って、ラプラス方程式など２階微分方程式を解くことができます。
ラプラシアンの計算をしてラプラス方程式を解く